电影网在线观看白馬非馬,非費米液體—非—費米液體|量子多體中的吶喊與彷徨之二

admin 今日电影 2020-05-12 11:47:00 14
我承認,這是一個晦澀的題目。白馬非馬的故事見《公孫龍子·白馬論》, 是一個著名的哲學命題。故事來自於先秦諸子百傢中的名傢,其代表人物公孫龍子有這樣一個悖論:白馬有顏色(白)和外形(馬)兩種特征,而馬隻有外形一種特征,所以白馬描述的范疇不同於馬所描述的范疇,故而白馬和馬不是同一個事物。在我們現代人看來,這個故事顯然是古人在和我們開詭辯的玩笑,混淆瞭詞語的范疇,當然這也是名傢做為諸子百傢中詭辯傢的老本行。公孫龍子老先生還有不少外國同行,比如古希臘的芝諾,他的悖論——飛矢不動,阿基裡斯永遠追不上烏龜——實際上混淆瞭有限與無限的概念。如是的哲學命題都是我們今天訓練思維的好材料。但是偶爾拿出來仔細想想,其實又總會發現我們這些看似聰明的現代人,也並不比我們的祖先進步瞭多少,有時反而更加不如瞭。就拿白馬非馬的故事來說吧。現代量子多體物理學有兩個基本的支柱,一是朗道費米液體理論,二是朗道—金茲伯格—威爾遜對稱性破缺理論。前者是對於自然界中大量存在的金屬導體,即由電子形成的液體的十分有用和準確的描述;後者是相變與臨界現象和物質分類理論的基本框架。筆者在之前的文章中多次提到過後者[1,2],今天我們來聊聊前者。朗道費米液體理論描述瞭金屬的基本性質。這個理論中有費米和朗道兩個名字。其中的費米主要是指金屬導體中存在的費米面這樣一個概念。如圖1(a)所示,在動量空間的佈裡淵區內,電子從能帶的帶底填充到可以占據的最高的動量,這些動量構成瞭一個封閉曲面,是為費米面(Fermi surface,在空間維度D=2 的時候,曲面就是一個封閉曲線)。自然界的金屬如金、銀、銅、鐵、錫還有各種合金,這樣的塊材中縱然存在阿伏伽德羅常數(Avogadro constant ~ 1023)量級的電子,其中真正決定金屬物理性質的電子,如其電學、熱學、磁學響應等性質,其實隻存在於動量空間中的費米面附近,如圖1(b)所示的kF附近能量范圍Δ~T 之內的電子。這樣就有瞭費米面、費米能(F)、費米動量(kF)等等用F (Fermi) 為下標的物理量。接著朗道就出場瞭,他說就算是F附近仍然有數量巨大的電子,而且電子之間還存著彼此影響的多體庫倫相互作用,乍一看仍然難以處理,但其實這樣相互作用的結果,不過就是把這些無窮多的電子的個體性質重整化瞭一下:比如電子原本的質量是m,重整化之後變成瞭m* (如在金屬3He 裡面,m*~ 3m ),即圖1(c)中所示重整化後費米面上電子質量得到修正m/m* 圖1 (a)無相互作用晶格模型中的費米面。此處以正方晶格最近鄰躍遷的情況為例,展示其在動量空間中的形狀。不同的藍線對應於不同的能帶填充,即不同大小的費米面。粗藍線為電子填充數為半滿(n=1)的情況,粗藍線之內為電子填充數小於半滿(n1)的情況。Γ =(0,0),X=(π,0)和M=(π,π)是動量空間中的高對稱點。(b)無相互作用費米子的占據函數,橫軸為動量k,縱軸為粒子數密度nk。費米動量kF之下的態都被占據nk=1,費米動量之上的態都不被占據nk=0。由於熱漲落的存在,費米面附近能量范圍Δ~T之內的電子可以從占據態激發到非占據態。(c)相互作用時的費米子占據函數,相互作用的能量范圍可以接近甚至超過費米能。在朗道費米液體理論的框架之下,相互作用的效果是把電子的性質進行瞭重整化,費米面上的電子質量從無相互作用時的m變成瞭有相互作用時的m*。朗道告訴我們,這些具有質量m*,磁距g*,譜函數是有限展寬(life time τ為有限值)的電子,其實應該被稱為準粒子(quasiparticle),朗道費米液體的核心就是準粒子在其質量、磁距、壽命被重整化之後,仍然可以像沒有感受到相互的自由電子一樣運行。這麼一來,人們就可以用處理量子力學單體問題的方法來處理具有阿伏伽德羅常數多個電子的金屬,得到對其基本性質的理解。比如朗道費米液體理論就成功解釋瞭為什麼在低溫下,金屬的電阻滿足ρ~T2的關系;金屬的靜態磁化率χ~N(F) 是一個和溫度無關但是和費米面上態密度有關的常數;金屬的比熱滿足C~T 的關系等等性質。這些性質在很多金屬材料的實驗中都等到瞭證實,更讓人深信朗道費米液體理論的正確性和權威性。我們後人回望先師朗道解決問題的方式,基本上是靠天馬行空地猜。當然那是建立在他對於物理問題的實質具有準確的洞察力(unerring intuition)的前提之下。他理論的很多細節,後來都被俄國朗道學派的七十二賢人們用高超的圈圖計算(diagrammatic calculation) 嚴絲合縫地彌補起來,這些結果的集大成就是這樣一本凝聚態物理學的經典教科書Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics,此書的三位作者也都是響當當的名字,出於對前賢的尊敬,讓筆者在此寫下他們的全名:Alexei Alexeyevich Abrikosov,Lev Petrovich Gor'kov,Igor Ekhiel'evich Dzyaloshinski.這三位朗道門下的亞聖也都在凝聚態物理學中留下瞭各自濃墨重彩的工作,感興趣的讀者可以自己去查,此處就不贅述瞭。總之這本書是如此的出名以至於後世的讀者們都不會記得此書本來的名字,而是直呼其為AGD(三位作者姓的首字母)。在冷戰時期和後冷戰時期的物理學圈子裡,AGD 顯然是比KGB更加響亮的俄國名字,至於KGB 是什麼,讀者也自行查閱吧。就算到瞭今天,在美國、歐洲還有我們中國的知名凝聚態物理學研究機構中,其實也沒有過多少能夠通讀AGD 的研究生,能夠通讀,也就離博士階段獨立展開科研工作不遠瞭。話題再回到白馬非馬,費米液體理論成功解釋瞭大多數普通金屬的行為,甚至後來的BCS 超導理論也都是建立在費米液體的框架之上,其功勞善莫大焉。那麼我們能否也像公孫龍子一樣問一個問題,有沒有不屬於費米液體范疇的金屬,有沒有—非—費米液體呢?答案還真有,而且這樣的不屬於費米液體范疇的金屬材料正在隨著時間的增長變得越來越多。更加讓人覺得神奇的是,凝聚態物理學傢想來想去,折騰瞭幾十年也想不出一個合適的名字,最後真的就學瞭我們的老祖先公孫龍子,幹脆把這些物理系統統稱為“ 非費米液體(Non-Fermi-Liquid,NFL)”。如果說公孫龍子說“白馬—非—馬”,是哲學傢的詭辯,那麼物理學傢說“非費米液體—非—費米液體”(註意這裡的斷句)。可是實實在在的對於實驗現象的總結,是老實到瞭可愛的斷語。隻是有時候,筆者真是對於人們在描述新事物時語言的貧乏感到憋氣,也就是在這種時候,筆者總會覺得我們比之於千年之前的祖先,不但沒有變得高明,反而是在退化瞭。還是說說非費米液體吧。既然是非費米液體,那就是和費米液體范疇不同的事物。再次強調,這裡是真正的不同,不是哲學傢的詭辯,我們可以嘗試列舉之:非費米液體中沒有準粒子;非費米液體的電導不是T2,比熱不是T,磁化率不是常數;非費米液體經常出現在量子臨界區域中;非費米液體被認為是高溫超導的正常態;非費米液體的基本性質很難通過解析計算嚴格得到;……總之,非費米液體是朗道費米液體理論不能解釋的現象,縱然洞察力深刻如朗道及其流亞者,面對非費米液體也拿不出unerring intuition,不得不面對無法解釋實驗現象的尷尬。其實20 世紀後半段的凝聚態物理學研究中,人們不斷地發現非費米液體的行為,比如重費米子材料、銅基、鐵基高溫超導材料還有許多過渡金屬氧化物的合金,都是非費米液體的典型代表。圖2(a)與(b)是重費米子材料中的例子。這是我國浙江大學袁輝球老師與合作者最近發現的一種鐵磁重費米子材料CeRh6Ge4[3],通過壓力調控, 該系統可以從鐵磁的金屬狀態(ferromagnetic metal,FM,其實也是費米液體) 經過量子相變進入順磁金屬(FL 就是費米液體) 的狀態,在量子相變點之上的臨界區中,系統就處在非費米液體的奇異金屬態(strange metal,SM), 這時系統的電阻和比熱都有偏離費米液體的行為。如圖2(b)所示,電阻隨溫度線性降低而不是如費米液體一般隨溫度平方降低,比熱隨著溫度有一個大於1的power,近於C/T ~ - log(T),而不是如費米液體一般C/T 在低溫下為常數。非費米液體的行為在高溫超導體更是如此,如圖2(c)所示的銅基高溫超導體空穴摻雜“普適”相圖[4]。超導dome 之上的strange metal 區域中,系統的電阻呈現線性的溫度依賴關系,跨越好幾個溫度數量級,而不是像費米液體一樣在低溫下為T2。更別說此處還有贗能隙和反鐵磁的莫特絕緣體相,非費米液體、贗能隙、莫特絕緣體之間的相互轉變和轉化,都是量子多體問題中仍然沒有解決的問題。這些就是人們經常提到的強關聯電子問題,是超越朗道費米液體理論和朗道—金茲伯格—威爾遜對稱性破缺理論框架的新問題。這樣的問題中醞釀著凝聚態物理學量子多體問題的新范式,是目前研究的前沿。圖2 (a)浙江大學研究人員發現的鐵磁重費米子材料CeRh6Ge4,在壓力之下系統發生量子相變從費米液體的鐵磁金屬(藍色區域,ferromagnetic metal,FM)變成費米液體的順磁金屬(藍色區域,Fermi liquid,FL),而在兩者之間的紅色區域,系統是非費米液體的奇異金屬( strange metal,SM)。其電阻和比熱的奇異行為在(b)有所顯示,系統在SM 參數范圍內有線性電阻,比熱有偏離C/T 為常數的行為;(c)銅基高溫超導體空穴摻雜的“普適”相圖。綠色區域為d 波超導相,其之上的strange metal 區域就是非費米液體, 在非費米液體中電阻隨溫度線性增長。Pseudo gap 是贗能隙相,AF 為反鐵磁莫特絕緣相(antiferromagnetic Mott insulator)。此外系統中還有charge order (電荷密度波)的跡象。如何解釋這些關聯電子狀態和它們之間的轉變,是凝聚態物理學量子多體問題的前沿。好的,既然我們用瞭上面磕磕絆絆的語言,生硬地陳述瞭“非費米液體—非—費米液體”這樣的實驗事實。那麼對於非費米液體,人們從理論上是不是一點辦法也沒有呢?也不盡然,後世的物理學傢們雖然沒有朗道的天賦,但也還是在勤勤懇懇地整理和記錄實驗觀測的結果,努力抽象出最簡單的理論模型,然後發展和運用解析和數值工具,研究如是的模型中是否蘊藏著非費米液體的蛛絲馬跡。鑒於問題所牽扯到的廣度和深度,以及可以預想的讀者們在看到公式後還能集中精力的短暫life time,在這篇文章中的最後部分,我們將會隻鋪墊一些討論非費米液體的基本概念,兼及運用數值和解析結合的辦法理解非費米液體的基本模型。真正的討論將會留在下一篇文章中進行,既減輕瞭大傢的心理壓力,也讓筆者可以更加充分地準備。還希望大傢耐心等待。對於如是的強關聯電子系統,需要運用格林函數和自能的語言來討論。在無相互作用系統中,電子的格林函數一般寫成這裡ω 是電子的頻率/能量, k是晶格上電子的色散關系(即無相互作用電子系統中動量和能量的依賴關系,也就是能帶)。而電子之間相互作用的效果,會改變電子的格林函數,在傳統的多體教材中往往是給出如下的相互作用下的電子格林函數:多出來的這個Σ(k,ω) 叫自能(self-energy)。這裡自能和格林函數的關系, 被Dyson 方程所描述G(k,ω)=G0(k,ω) +G0(k,ω)Σ(k,ω)G(k,ω),寫下這個迭代方程的老先生,就是最近剛剛去世的著名物理學傢Freeman Dyson。自能又可以分成實部和虛部, Σ(k,ω) = Σ′(k,ω) + iΣ″(k,ω),其中實部表示瞭對於自由費米子色散關系的重整化, 可以表達成k* = k+ Σ′(k, k*) ,然後原來的ω-k就可以變成( - k*)/Zk, 此處的就是前文中圖3中提到的準粒子權重。自能虛部代表準粒子的壽命τ-1~Σ″(k,ω) ,在圖3(c)中體現為譜函數的中峰的半高寬。把這些記法都整合在一起之後,我們得到相互作用下的電子格林函數:其中Zk是相互作用系統中的準粒子權重,k*是重整化之後的準粒子色散關系, Σ″(k,ω) 描述重整化之後準粒子的壽命。其實我們之前反復提到的,人們不知道非費米液體的理論描述,主要是在說非費米液體的自能應該是什麼樣的表達式,尤其是做為準粒子壽命的虛部的解析表達式,到目前為止人們還不能準確寫出來。圖3 (a)無相互作用電子系統的譜函數,在能量等於費米能(ω→K)時,譜函數為δ-函數,其半高寬的倒數為電子的壽命(life time τ),δ-函數的半高寬為零,意味著費米面上的電子壽命無窮長;(b)費米液體中的準粒子譜函數,準粒子譜的半高寬正比於能量的平方(Γk∝k2),當能量線性接近費米面的時候,準粒子的壽命越來越長,並且最終長於能量接近費米面的速度(τ =1/k2 1/|ω—k|),使得準粒子在如此的能量尺度下是穩定的;(c)在費米液體理論中,當能量達到費米面k=kF,準粒子的壽命亦發散,但其性質受到電子相互作用的修正,準粒子的權重Zk~ m/m*,其中m* 為準粒子的有效質量。有瞭格林函數和自能的語言來描述強關聯電子系統,下面的問題就是:用這樣的語言,在怎樣的模型系統中,用什麼樣的解析/數值方法,可以獲得對於非費米液體的準確認識。此處情況就開始變得復雜瞭,大概是從高溫超導體的正常態是非費米液體(即電阻隨著溫度線性而不是平方地變化)以來,30 多年過去瞭,其實人們還沒有能夠在空間維度D>1 的系統中(大多數的實際材料都是二維D=2电影网在线观看电影网在线观看,或者三維D=3的),嚴格推導出任何一種非費米液體格林函數和自能的解析表達式。當然從量子場論的框架到各種唯象理論的發展,對於非費米液體的理論構造已經取得瞭長足的進展。比如,現在人們普遍認為,非費米液體做為一種量子多體物質狀態,往往出現在不同的金屬之間,以及金屬和絕緣體發生量子相變的量子臨界區域中,甚至可以認為量子臨界區裡的物態就是非費米液體。在量子臨界區域中,漲落扮演瞭十分重要的角色,對於不同的物理系統,漲落的形式有區別。包括高溫超導體中的反鐵磁漲落、向列相漲落、電荷密度波漲落,上文提到的重費米子材料中的鐵磁漲落,還有目前在理論研究中十分關註的和拓撲序有關的演生規范場漲落等等。這些漲落(大多數時候屬於玻色型的),在量子臨界區中傳遞費米子之間的相互作用,而且費米子又可以反過來反饋給玻色子,改變瞭漲落的內涵。所以問电影网在线观看題的實質變成瞭如何準確處理相互關聯的費米子和玻色子發生臨界耦合的問題,以至於耦合的結果——就是量子多體相互作用的結果—— 能夠產生出非費米液體,進而可以解釋上文中提到的高溫超導、贗能隙、莫特絕緣體、重費米子等等實驗現象。這樣的量子臨界問題,其實在模型層次上是可以構造的,比如圖4中的模型,就是一個費米子與反鐵磁量子Ising 自旋耦合的系統[5]。通過調控量子Ising 自旋模型中的橫向磁場大小,也就是控制玻色子量子漲落的強度,可以讓費米子系統處於順磁費米液體(Fermi liquid)、反鐵磁電荷密度波金屬(spin-density-wave(SDW) metal)以及我們最關心的量子臨界區(quantum critical region,QCR)。在QCR 中,系統處在強關聯的參數范圍,傳統的微擾論解析手段無法嚴格處理,研究人員們便開始使用以量子蒙特卡洛為代表的大規模數值計算方法,結合量子場論的分析,研究非費米液體的性質。目前通過大規模的數值計算與和解析理論的良性互動,在如圖4這樣的問題中,物理學傢正在獲得非費米液體的準確描述。圖4 (a)費米子與反鐵磁量子Ising 自旋耦合模型。λ=1,2 表示正方晶格的兩層自由費米子,中間一層為量子Ising 自旋,自旋之間具有反鐵磁相互作用J,橫向的磁場h 引入Ising 自旋的量子漲落。費米子和Ising 自旋之間通過ξ 耦合起來。(b)模型的示意相圖。橫場h 大於臨界值時,Ising 自旋量子無序,耦合不發生作用,費米子處於順磁費米液體(Fermi liquid);橫場h 小於臨界值時,Ising 自旋反鐵磁有序,耦合的結果是費米面發生折疊變成瞭圖中藍色的pocket,費米子處於反鐵磁電荷密度波金屬狀態(spin-density-wave (SDW) metal),但是由於此處玻色子漲落很弱,電荷密度波金屬仍然是費米液體。隻有在橫場h 處在臨界值時,玻色子量子漲落最強,費米子之間通過玻色漲落生發出強烈地相互作用,系統進入量子臨界區(quantum critical region,QCR),變成瞭非費米液體。(c)如上的示意過程,可以在晶格模型中通過量子蒙特卡洛數值方法嚴格計算。此處就是計算出的費米面在順磁費米液體和反鐵磁電荷密度波金屬狀態中的形狀。至於具體看到瞭什麼非費米液體的性質,考慮到大傢的life time已經快耗盡瞭。筆者還是就此停筆吧。在下一篇“非費米液體—非—費米液體”的文章中,筆者將會介紹理論上對於量子臨界點上非費米液體性質的基本預期(其中很多還是朗道學派的當代後人們給出的),以及人們在近幾年來,通過以量子蒙特卡洛計算為代表的數值方法與場論計算為代表的解析方法的互動,已經得到瞭哪些確定性的結果,有哪些問題可以期望得到解決。當然,目前的現狀還是有很多非費米液體的性質仍然不能從理論上給出解答,不過這不正是需要我們這些公孫龍子和朗道的後人們繼續努力的方向嗎?參考文獻[1] 孟子楊. 被解救的諾特. 物理,2020,49(1):43[2] 孟子楊. 寂靜春天裡的動力學. 物理,2019,48(2):104[3] ShenB,ZhangYJ,KomijaniYet al. Strange metal behavior in a pure ferromagnetic Kondo lattice. Nature,2020:579:51[4] Keimer B,Kivelson S A,Norman M R et al. From quantum matter to high-temperature superconductivity in copper oxides. Nature,2015,518:179[5] Liu Z H,Pan G P,Xu X Y et al. Itinerant quantum critical point with Fermion pockets and hot spots. PNAS,2019,116 (34):16760量子多體中的吶喊與彷徨系列:一、被解救的諾特本文選自《物理》2020年第3期來源:中國物理學會期刊網編輯:米老貓↓ 點擊標題即可查看 ↓1. 物理定律告訴你:表白可能巨虧,分手一定血賺2. 震驚!昨天你們立起來的掃把,甚至真的驚動瞭 NASA3. 酒精和 84 消毒液到底能不能一塊用?4. 一次性醫用口罩是怎麼做出來的?如何消毒?5. 數學好玩個球啊,這支豪門球隊用一群數理博士橫掃球場6. 「測溫槍」到底是怎樣測出你的溫度的?7. 等量 0 度水和 100 度水混合能得到 50 度水嗎?8. 人類為什麼喜歡親吻?9. 病毒從哪裡來?10. 一見鐘情,到底靠不靠譜?

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